Crochets de Poisson

Définition

$\triangleright$ Définition des crochets de Poisson

On définit les crochets de Poisson de deux fonctions $A$ et $B$ de l'espace des phases (Mécanique Hamiltonienne) par:
$$\{A,B\}={{\sum_{i=1}^N\left[\frac{\partial A}{\partial q_i}\frac{\partial B}{\partial p_i}-\frac{\partial A}{\partial p_i}\frac{\partial B}{\partial q_i}\right]}}$$
Avec:

$N$: le nombre de Coordonnées généralisées

Propriétés

$\triangleright$ Propriétés des crochets de Poisson

3 crochets fondamentaux:

$\{p_i,p_j\}=0$
$\{q_i,q_j\}=0$
$\{q_i,p_j\}=\delta_ij$

Autres:

$\{f,g\}={{-\{g,f\} }}$
$\{f,constante\}=0$
$\{f_1+f_2,g\}={{\{f_1,g\}+\{f_2,g\} }}$
$\{f,q_i\}={{-\frac{\partial f}{\partial p_i} }}$
$\{q_i,H\}={{\dot q_i}}$
$\{p_i,H\}={{\dot p_i}}$
$\frac{d}{dt}\{f,g\}={{\{\frac{\partial f}{\partial t},g\}+\{f,\frac{\partial g}{\partial t}\} }}$

Avec:

$H$: Hamiltonien
$p_i, q_i$: Voir Coordonnées généralisées

Théorème

$\triangleright$ Théorème de Poisson

Le théorème de Poisson nous dit que si $A$ et $B$ sont des constantes du mouvements, alors $\{A,B\}$ l'est aussi.
Plus généralement:
$$\{f,H\}={{0}}\implies {{f\text{ est une constante du mouvement} }}$$

Math'φsics

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Définition

\(\triangleright\) Définition des crochets de Poisson

Propriétés

\(\triangleright\) Propriétés des crochets de Poisson

Théorème

\(\triangleright\) Théorème de Poisson